 Jana Rodriguez Hertz * Esta situación está contrapuesta a los sistemas o procesos estocásticos, donde la relación entre cada estado actual y sus estados futuros o pasados es aleatoria. En un proceso estocástico las leyes de causa-efecto no están determinados de forma única, sino que para cada estado actual hay una probabilidad de estado futuro o pasado. Ejemplos de procesos estocásticos son la variación de ciertos precios en el mercado, la evolución del índice de la bolsa segundo a segundo, las señales de telecomunicación, etc. Nosotros nos concentraremos, por el contrario, en sistemas dinámicos determinísticos, aquellos donde cada estado tiene un futuro y un pasado bien determinado por una ley conocida. Sin embargo, a pesar de lo que pueda parecer intuitivo, el hecho de conocer la ley del movimiento de cada partícula no significa que sea fácil determinar su paradero, y menos en los largos plazos. Veamos un ejemplo. Negroni ergódico sin hielo  Una parte de gin bien helado
· Una parte de Campari · Una parte de Martini Rosso Preparar directamente en un vaso Old Fashioned. Primero echar el gin, y luego el Campari y el Martini. Comenzamos a preparar el Negroni. Queremos rastrear qué pasa con la bebida de color. ¿Cómo evolucionan las partículas de la bebida de color dentro del vaso? Supongamos que empezamos a estudiar el sistema en el instante en que hemos terminado de agregar el Campari y el Martini. En el instante cero, éstas estarán cerca de la superficie, pero a medida que pasa el tiempo, las partículas coloreadas empiezan a recorrer todo el vaso, y luego de un rato ocurre que éstas podrían estar virtualmente en cualquier parte. Algo más o menos así: Boltzmann creía que esencialmente lo mismo pasa con los gases. Por eso formula su famosa Hipótesis Ergódica (HE): | Al cabo de un período suficientemente largo de tiempo, la mayoría de las partículas se pueden encontrar en cualquier parte del espacio de fases(1) con igual probabilidad |
Dicho en otras palabras, según la Hipótesis Ergódica de Boltzmann, si uno observa la evolución de una “mancha visible” en un período largo de tiempo, el "rastro" que ésta deja, es decir, el conjunto de sus todos sus estados,(2) terminan rellenando prácticamente todo el espacio de fases.(1) Decimos prácticamente, porque podría dejar de rellenar un punto, o una curva, o más en general un conjunto de medida cero, que carece de interés desde el punto de vista de un observador. Llamaremos ergódicos a los sistemas que cumplan la Hipótesis Ergódica. Notemos que en el ejemplo del Negroni la mancha se diluia por todo el vaso. Esta propiedad se llama mixing. Los sistemas donde esto pasa son ergódicos. Sin embargo, un sistema puede ser ergódico sin que ésto pase. El único requisito es que el rastro, u órbita, de cualquier mancha visible termine cubriendo todo el espacio de fases. A continuación, vemos un ejemplo de un sistema dinámico ergódico donde las manchas visibles no se diluyen. En este ejemplo, el espacio de las fases es una rosquita, lo que se llama toro bi-dimensional, y la ley del movimiento es una traslación, o sea un desplazamiento, que está marcada en la figura de abajo por las flechitas azules (campo vectorial).  Desplazamiento en un toro bidimensional - Haga click en la imagen para extenderla
El ángulo que forman las flechitas con las "líneas verticales" del toro es irracional, o sea, no se puede escribir como una fracción. Eso es lo que provoca que el rastro de cualquier mancha visible se dsitribuya por todo el toro. Estudiaremos este fenómeno en otra nota. Sin embargo, hay sistemas no ergódicos. En estos sistemas la evolución del rastro de una mancha visible queda confinada a una región del espacio, que no es todo.  Para fijar ideas, podríamos pensar en el espacio de fases como una pista de atletismo dividida en bandas, donde cada atleta corre sin salirse nunca del andanivel que le corresponde. Podemos construir fácilmente un ejemplo de sistema no ergódico que tenga como espacio de fases(1) el toro bidimensional(3) (x) lo armamos de forma que la ley de movimiento sea a lo largo de las "líneas verticales" del toro. De este modo, todas las órbitas(4) son periódicas.(5) En efecto, este movimiento se repite a lo largo del tiempo y para cualquier mancha inicial más o menos pequeña, pero visible, sólo rellena una banda del toro. Si el sistema fuera ergódico el rastro de la mancha terminaría rellenando prácticamente todo. Es, por lo tanto, no ergódico. Agradecimientos Quiero agradecer a Marcos Carbajo y a Federico Rodriguez Hertz por ejemplos y sugerencias. Agradezco especialmente a Marcos por su paciente insistencia en que haga esta nota. Glosario · (1) espacio de fases: el conjunto de todos los estados posibles. En el ejemplo del cóctel, el espacio de fases es el conjunto de las posiciones dentro del vaso. · (2) estado: también se puede llamar fase. Cada una de las posiciones posibles del sistema. En el ejemplo del cóctel, el conjunto de estados de una partícula de Campari es la curva que ésta va describiendo cuando se va moviendo dentro del vaso. · (3) toro bidimensional: es una rosquita, como en la figura (x). Es una superficie, que se puede construir a partir de un cuadrado, pegando los lados opuestos. En el primer paso se obtendrá un cilindo, y en el segundo, la rosquita. ·(4) órbita: el conjunto de todos los estados que va teniendo un punto a lo largo de su evolución (en el futuro y en el pasado). Es la curva que va dibujando el punto en su evolución de acuerdo a la ley de movimiento. · (5) periódico: es una órbita que después de un cierto tiempo (período) vuelve a pasar por el mismo lugar.
* Jana Rodriguez Hertz Instituto de Matemática y Estadística (IMERL) Facultad de Ingeniería Universidad de la República - Uruguay www.fing.edu.uy/~jana
|
Acceda a todos los artículos de la Biblioteca de Babel organizados por tema 
